Ruote insolite
Ruote con 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 o 105 caselle. Una sola regola dà il prezzo di quasi tutte: la quota di caselle che i pagamenti ignorano.
Quando i pagamenti sono fissati come se le caselle del banco non ci fossero, il vantaggio del bancomatematicaVantaggio del bancoLa parte di ogni posta che il casinò trattiene in media: il 2,70% nella roulette europea.Leggi tutto → è uguale alle caselle del banco divise per il totale delle caselle, qualunque sia la dimensione della ruota. La maggior parte delle ruote insolite segue questa regola. Quelle interessanti la infrangono: un pagamento arrotondato, un turno bonus o una puntata che resta in gioco per più giri.
Una regola per ogni ruota
La roulette europeavarianteRoulette europeaRuota a zero singolo, 37 caselle, vantaggio del banco del 2,70%. Il modello di riferimento di questo sito.Leggi tutto → paga 35 a 1 come se la ruota avesse 36 caselleattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto →. Ne ha 37, e la casella mancante è il vantaggio del 2,70%. La stessa regola vale per qualsiasi ruota: con N numeri e Z caselle del banco, una puntata su n numeri che paga (N − n)/n a 1 ha un vantaggio di Z/(N + Z). Ruote di ogni dimensione sono state costruite o proposte secondo questa regola, e la tabella le mette in ordine di prezzo.
Più grande può costare meno
I giocatori vedono in una ruota a 62 caselle un bersaglio più difficile e immaginano un gioco peggiore. Il vantaggio dipende solo dalla quota di caselle del banco. Super 62 ha due zeriruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto →, come la ruota americana, ma sono 2 caselle su 62 invece di 2 su 38, quindi costa il 3,23% contro il 5,26%. Roulette 73, con 72 numeri e uno zero, costerebbe l’1,37%, circa quanto le chance semplici alla roulette francese. Su una ruota piccola la regola funziona al contrario. Bollman immagina una ruota antica a 18 caselle, da 1 a 16 più 0 e 00. Secondo la regola ogni puntata costerebbe 2/18, l’11,11%: due caselle del banco sono una parte grande di una ruota piccola.
Dove la regola si rompe: gli arrotondamenti
Un pagamentodenaroPagamentoCiò che rende una puntata vincente, espresso come “X a 1” in aggiunta alla posta restituita.Leggi tutto → deve essere un importo sensato in fichedenaroFicheUn dischetto che rappresenta un importo fisso, piazzato sul tappeto per fare una puntata. Detta anche: cheque.Leggi tutto →, e quando la regola dà una frazione il casinò arrotonda per difetto. La puntata Avenue della 100 To 1 Roulette copre 15 caselle e dovrebbe pagare 5⅔ a 1; paga 11 a 2, il che alza il suo vantaggio dal 4,76% al 7,14%. Su Super 62, sette numeri contengono la cifra 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) e la puntata su quella cifra paga 7 a 1, il che la porta al 9,68%, tre volte il resto del tappetoattrezzaturaTappetoLa griglia di puntata stampata sul tavolo. Detto anche: tavolo, feltro, panno.Leggi tutto →. La puntata bianca della Riverboat Roulette copre 8 numeri a 7 a 2; a un tavolo senza fiche da 50 centesimi, una puntata vincente da $5 riceve $17 invece di $17,50, il che alza il vantaggio dal 5,26% al 7,37%. La puntata americana sui cinque numeri, al 7,89%, è il caso noto della stessa cosa.
Dove la regola si rompe: i bonus
Fast Action Roulette, lanciata al Marina Bay Sands nel 2020, usa una ruota vera con quattro zeri, che da sola costerebbe il 10%. Dieci numeri Bonus si accendono a caso a ogni giro. Un pienopuntataPienoUn solo numero, paga 35:1. In inglese: straight up.Leggi tutto → paga 35 a 1, 40 a 1 se il suo numero è un numero Bonus e 80 a 1 se l’intera riga di quattro è Bonus, il che lo porta al 6,65%. Le altre tre puntate del gioco costano molto di più. Double Bonus Spin di IGT aggiunge a una ruota americana una casella Bonus gialla, larga una casella e mezza; quando la pallinaattrezzaturaPallinaLa piccola sfera lanciata lungo la pista in senso contrario al rotore. Le palline moderne sono di ivorina o di Teflon, 18–21 mm.Leggi tutto → cade lì, ogni puntata ottiene due giri gratuiti. Secondo il nostro calcolo questo abbassa il vantaggio a un valore tra l’1,94% (un pieno) e il 2,73% (chance semplici), sotto la semplice ruota americana. Bollman (2021) riporta dal 3% al 16% per questo gioco; la sua formula semplificata contiene un errore algebrico e, per le chance semplicipuntataChance sempliceRosso/nero, dispari/pari, alto/basso. 18 numeri, paga 1:1.Leggi tutto →, implica che i giri gratuiti perdano più della posta, cosa impossibile.
Dove la regola si rompe: puntate che restano in gioco
Riverboat Roulette (2012) diede a 32 numeri di una ruota americana un secondo colore. Il bianco segna le quattro caselle intorno a ciascuno zero (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Una puntata su un gruppo di colore vince se uno dei suoi numeri esce prima di uno degli otto numeri bianchi. Un numero bianco è un “White Out” che fa perdere tutte le puntate sui colori. Ogni altro numero è un nulla di fatto: la puntata resta in gioco, e tra un giro e l’altro può essere ritirata o aumentata. Il verde acqua copre tre numeri e paga 2 a 1. Per puntata risolta perde 2/11 della posta, il 18,18%. Per giro perde 2/38, il solito 5,26%, perché in media la puntata resta in gioco 38/11, circa 3,5 giri.
Una ruota che Thorp sapeva prevedere: la Big Six
La Big Six, o ruota della fortuna, è una grande ruota verticale con 54 spicchi: 24 pagano 1 a 1, 15 pagano 2 a 1, sette 5 a 1, quattro 10 a 1, due 20 a 1, e due spicchi con il logo pagano 40 a 1. Non c’è zero; il banco prende la sua parte pagando meno del dovuto, e il vantaggio va dall’11,1% sugli spicchi che pagano 1 a 1 al 24,1% sui loghi. Nel 1961 Thorp costruì per questa ruota un predittore grande come una scatola di fiammiferi, azionato da un interruttore sotto l’alluce, e nel 1981, cronometrando con un orologio da polso un giro di una ruota di casinò, scoprì di poter di solito indicare il punto di arresto con un errore di cinque spicchi al massimo. Puntare solo sugli spicchi ad alto pagamento vicini alla previsione avrebbe reso circa il +211%, se le puntate fossero accettate dopo l’avvio della ruota. Non lo sono, e la ruota gira lentamente e sotto gli occhi di tutti, quindi una puntata tardiva salterebbe all’occhio; Thorp scrisse che il gioco aveva un volume di puntate troppo basso per nasconderne una.
Perché così poche prendono piede
Una ruota professionale costa migliaia di dollari, e una ruota con un numero insolito di caselle va fatta su ordinazione. Per questo la maggior parte dei nuovi giochi di roulette mantiene la ruota standard e aggiunge puntate, ed è per questo che la pagina sulle puntate laterali è più lunga di questa. La ruota con l’aquila a 31 caselle dell’America dell’Ottocento, al 12,90% su un numero singolo e al 9,68% su tutto il resto, morì del suo stesso prezzo. L’idea di una terza casella del banco è tornata nel 2016 su una ruota a 39 caselle, dove costa il 7,69%.
Domande
Non di per sé. Il vantaggio è la quota di caselle del banco: 1 su 73 costa meno di 1 su 37.
Roulette 73, all’1,37%, ma è un progetto pubblicato più che un tavolo che è probabile trovare. Tra le ruote effettivamente offerte ai giocatori, Super 62 al 3,23% viene subito dopo l’europea e la francese.
Un bonus va pagato, di solito con un taglio del pagamento base o con una puntata separata con un vantaggio alto.
Matematica per gioco
Prova prima a risolverli per conto tuo. Ogni soluzione è nascosta: aprila quando vuoi.
Royal Roulette, sviluppata in Australia, ha 50 caselleattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto →: le 48 carte dal 2 al re, più un asso e un jolly. Una carta singola paga 47 a 1, due carte 23 a 1, tre 15 a 1, quattro 11 a 1, sei 7 a 1, otto 5 a 1, dodici 3 a 1, sedici 2 a 1 e ventiquattro 1 a 1. Quale regola produce questi pagamentidenaroPagamentoCiò che rende una puntata vincente, espresso come “X a 1” in aggiunta alla posta restituita.Leggi tutto →, e quanto costa ogni puntata?
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Risposta Ogni puntata su n carte paga (48 − n)/n a 1, quindi ogni puntata costa 2/50 = 4%.
Prova la regola su alcune puntate: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Funziona per tutte e nove. La regola dà il prezzo alla ruota come se avesse 48 caselle, quindi l’asso e il jolly sono le due caselle del banco, esattamente come lo 0 e il 00 su una ruota americana.
Due caselle del banco su 50 danno un vantaggio del 4%. Una versione “europea” toglie il jolly e mantiene i pagamenti: una casella del banco su 49, un vantaggio del 2,04%.
Super 62 ha una puntata sul fatto che una cifra scelta compaia nel numero vincente. Progetta la stessa puntata per una normale ruota americana. Quanti numeri da 1 a 36 contengono ciascuna cifra, e quali pagamenti manterrebbero il solito 5,26%?
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Risposta Solo le cifre con 3 o 4 numeri hanno pagamenti puliti (11 a 1 e 8 a 1). Le cifre 1, 2 e 3 non si possono pagare in modo equo con fichedenaroFicheUn dischetto che rappresenta un importo fisso, piazzato sul tappeto per fare una puntata. Detta anche: cheque.Leggi tutto → intere.
Conta i numeri. La cifra 1 compare in 1, da 10 a 19, 21 e 31: 13 numeri. Anche la cifra 2 è in 13 numeri e la cifra 3 in 10. Le cifre 4, 5 e 6 sono in quattro numeri ciascuna (4, 14, 24, 34), e 7, 8 e 9 in tre ciascuna.
Una puntata su n numeri mantiene il vantaggio americano se paga (36 − n)/n a 1. Questo dà 8 a 1 per quattro numeri e 11 a 1 per tre, entrambi interi. Per 13 numeri dà 23/13, circa 1,77 a 1, e per 10 numeri 2,6 a 1. Arrotonda 1,77 per difetto a 7 a 4 e la puntata costa il 5,92%; arrotondalo per eccesso a 2 a 1 e il giocatore ha un vantaggio del 2,63%. Arrotondare 2,6 per difetto a 5 a 2 dà il 7,89%.
La cifra 0 è una scelta: 10, 20 e 30 da soli pagano 11 a 1 al 5,26%; aggiungi 0 e 00 ed è una puntata sui cinque numeri, 6 a 1 al 7,89%, come i primi quattropuntataPrimi quattroSu una ruota a zero singolo: 0, 1, 2, 3 con una fiche, paga 8:1. Detti anche: basket, first four, quatre premiers.Leggi tutto →.
cifranumerila regola dicepotrebbe pagarevantaggio del banco1, 2131,77 a 17 a 45,92%3102,6 a 15 a 27,89%4, 5, 648 a 18 a 15,26%7, 8, 9311 a 111 a 15,26%100 To 1 Roulette paga (100 − n)/n a 1 sulla maggior parte delle puntate, su una ruota di 100 numeri e 5 simboli del banco. Le sue puntate coprono 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 o 50 caselle e pagano 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 a 2, 4 e 1 a 1. Il pienopuntataPienoUn solo numero, paga 35:1. In inglese: straight up.Leggi tutto → e l’Avenue da 15 caselle infrangono la regola. Quale altra puntata lo fa, e quanto costa?
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Risposta La puntata su tre caselle: la regola dice 32⅓ a 1, paga 32 a 1 e costa il 5,71% invece del 4,76%.
Confronta ogni pagamento con la regola: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 e 50/50 = 1 tornano tutti. Per tre caselle la regola dà 97/3 = 32⅓, che nessuna fiche può pagare, quindi si arrotonda per difetto a 32.
La puntata vince 3 volte su 105 giri e allora restituisce 33 unitàdenaroUnitàLa posta base con cui lavora un sistema o un giocatore. Le progressioni sono descritte in unità perché valgano a qualsiasi tavolo.Leggi tutto → posta compresa: 3 × 33 = 99 unità restituite ogni 105 puntate, una perdita di 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, un progetto pubblicato, ha 72 numeri e uno zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto →, e ogni puntata paga (72 − n)/n a 1. I suoi 24 numeri grigi si possono coprire con 14 fiche: 4 pieni e 10 cavallipuntataCavalloDue numeri adiacenti, paga 17:1. In inglese: split.Leggi tutto →. Quanto costa quella puntata da 14 fiche?
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Risposta L’1,37% delle 14 fiche, come ogni altra puntata su quella ruota.
La strada lunga: un pieno paga 71 a 1 e un cavallo 35 a 1. Se esce uno dei 4 numeri giocati a pieno, vinci 71 e perdi le altre 13 fiche: +58. Se esce uno dei 20 numeri dei cavalli: +35 − 13 = +22. Sulle altre 49 caselle le perdi tutte e 14. In media su 73 giri: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 unità, cioè 1/73 di ogni fiche.
La strada breve: i valori attesimatematicaValore attesoIl risultato medio per puntata nel lungo periodo. −1/37 della posta per ogni puntata standard della roulette europea.Leggi tutto → si sommano. Ogni fiche è una puntata normale che perde 1/73 di sé stessa, quindi 14 fiche perdono 14/73. Combinare le puntate cambia come si distribuiscono i risultati, mai quanto costano.
Super 62 ha 60 numeri, lo 0 e il 00, e paga (60 − n)/n a 1. I suoi progettisti l’hanno disegnata anche con una, tre e quattro caselle del banco. Alphabetic Roulette paga (24 − n)/n a 1 su 25 caselle, e ha una variante con Y e Z in caselle separate. Calcola il prezzo di tutte e cinque.
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Risposta Con da uno a quattro zeri: 1,64%, 3,23%, 4,76% e 6,25%. Alphabetic con Y e Z separate: 7,69%.
Ognuna di queste mantiene i suoi pagamenti e cambia solo il numero di caselle del banco, quindi il vantaggio è caselle del banco ÷ caselle totali.
Uno zero, 61 caselle: 1/61 = 1,64%. Due, 62 caselle: 2/62 = 3,23%. Tre, 63 caselle: 3/63 = 4,76%. Quattro, 64 caselle: 4/64 = 6,25%. Ogni zero in più costa circa un punto e mezzo.
Alphabetic paga come se avesse 24 lettere. Con Y e Z nella stessa casella il banco ha 1 su 25, il 4%. Con Y e Z separate ne ha 2 su 26, il 7,69%, quanto una ruota a triplo zero. Dividere una casella in due ha quasi raddoppiato il prezzo.
ruotacasellecaselle del bancovantaggio del banco60 numeri, uno zero6111,64%Super 626223,23%60 numeri, tre zeri6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y e Z separate2627,69%Una ruota antica ha 18 caselle: da 1 a 16, 0 e 00. I numeri dispari e lo 0 sono rossipuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto →, i numeri pari e il 00 neripuntataNeroChance semplice sui 18 numeri neri. In francese: noir.Leggi tutto →, e i 16 numeri stanno su un tappetoattrezzaturaTappetoLa griglia di puntata stampata sul tavolo. Detto anche: tavolo, feltro, panno.Leggi tutto → di 4 per 4. Progetta una tabella dei pagamentidenaroTabella dei pagamentiL’elenco di quanto paga ogni puntata o risultato. Sulle macchine e nelle puntate laterali è lì che si fissa il vantaggio del banco.Leggi tutto → che dia a ogni puntata lo stesso vantaggio. E perché lo 0 deve far perdere una puntata sul rosso, anche se è rosso?
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Risposta Paga (16 − n)/n a 1: 15 a 1 su un numero, 7 su due, 3 su quattro, 1 su otto. Ogni puntata costa l’11,11%. Se lo 0 facesse vincere la puntata sul rosso, il rosso sarebbe una puntata equa.
Calcola il prezzo della ruota come se lo 0 e il 00 non ci fossero. Una puntata su n numeri vince n volte su 18 e paga (16 − n)/n a 1, quindi restituisce 16 unità, posta compresa, ogni 18 puntate. Ogni puntata costa 2/18, l’11,11%.
Le puntate naturali del tappeto vengono intere: un numero 15 a 1, due numeri affiancati 7 a 1, una riga o una colonnapuntataColonnaDodici numeri in una colonna verticale del tappeto, paga 2:1.Leggi tutto → di quattro 3 a 1, e due righe, oppure gli otto dispari, pari, bassi o alti, 1 a 1. Una puntata su tre numeri richiederebbe 4⅓ a 1; arrotondata per difetto a 4 a 1, costa il 16,67%.
Il rosso copre gli otto numeri dispari. Se anche lo 0, essendo rosso, facesse vincere la puntata sul rosso, il rosso coprirebbe 9 caselle su 18 a 1 a 1: un gioco equomatematicaGioco equoUn gioco in cui nessuna delle due parti ha un vantaggio: ogni puntata ha un valore atteso pari a zero.Leggi tutto → senza alcun vantaggio. Le caselle del banco guadagnano il loro vantaggio solo facendo perdere ogni puntata tranne quella su di loro.
Intermezzo comico
Conta le caselle del banco, poi cerca l’arrotondamento.
Fonti
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”