Rischio di rovina
La probabilità di perdere l’intero bankroll prima di raggiungere un obiettivo.
Per le chance semplici, il rischio di rovina segue la formula della rovina del giocatore. Con un bankroll da $500, puntate da $10 e un obiettivo di $600, raggiungi l’obiettivo circa il 57% delle volte e vai in rovina nelle altre.
La domanda
Hai a unitàdenaroUnitàLa posta base con cui lavora un sistema o un giocatore. Le progressioni sono descritte in unità perché valgano a qualsiasi tavolo.Leggi tutto → di bankrolldenaroBankrollLa somma totale messa da parte per giocare. La gestione del bankroll consiste nel decidere quanta parte rischiarne per puntata e per sessione.Leggi tutto → e vuoi arrivare ad a + b unità, puntando un’unità alla volta su una chance semplicepuntataChance sempliceRosso/nero, dispari/pari, alto/basso. 18 numeri, paga 1:1.Leggi tutto → con probabilitàmatematicaProbabilitàLa misura di quanto è probabile un esito, da 0 a 1 o da 0% a 100%. Un numero: 1/37 = 2,70%.Leggi tutto → di vincita p = 18/37 e probabilità di perdita q = 19/37. Qual è la probabilità di raggiungere l’obiettivo prima di arrivare a zero? La risposta fu elaborata da Pascal, Fermat e Huygens negli anni 1650 ed è uno dei risultati più antichi della probabilità.
La formula della rovina del giocatore
P(raggiungere l’obiettivo) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Il rischio di rovinamatematicaRischio di rovinaLa probabilità di perdere l’intero bankroll prima di raggiungere un obiettivo o un certo numero di giri.Leggi tutto → è uno meno questo valore. Con q/p = 19/18 ≈ 1,0556, il rapporto cresce in modo esponenziale con il numero di unità, quindi la formula punisce duramente le unità piccole: più puntate servono per raggiungere l’obiettivo, più volte si paga per strada il pedaggio del 2,70%.
Come leggerla
Le unità piccole danneggiano. Provare a raddoppiare $500 con puntate da $10 riesce il 6% delle volte; con una sola puntata da $500 riesce il 48,6% delle volte. Il gioco audace, con puntate meno numerose e più grandi, massimizza la probabilità di raggiungere un obiettivo in un gioco a valore atteso negativo, perché riduce al minimo il numero di volte in cui si applica il vantaggio. Massimizza anche la varianzamatematicaVarianzaUna misura di quanto i risultati si disperdono attorno al valore atteso. Alta per il pieno, bassa per le chance semplici.Leggi tutto → di ciò che ti accade, e la serata finisce in fretta. Il teorema si chiama “il gioco audace è ottimale” ed è stato dimostrato da Dubins e Savage nel 1965.
Dove è nato il problema
La domanda è più antica della roulette. Nel 1656 Pascal propose a Fermat un enigma: due giocatori lanciano tre dadi, ciascuno parte con 12 gettoni; un lancio di 11 sposta un gettone in un senso, un lancio di 14 nell’altro. Lo risolsero entrambi, e Huygens, che ne seppe da una lettera del matematico Pierre de Carcavi, lo pubblicò nel 1657 come quinto problema del primo libro sulla probabilità, con la risposta e senza dimostrazione. L’undici si può ottenere in 27 modi e il quattordici solo in 15, quindi ogni gettone va dalla parte del primo giocatore 9 volte su 14, e la formula qui sopra, con 12 gettoni ciascuno, gli dà circa 1157 volte più probabilità di vincere tutto che di perdere tutto. Un vantaggio del 2,70% è molto più piccolo, ma la stessa formula mostra che cosa fa su molte puntate.
Una vera puntata audace
Nell’aprile 2004 Ashley Revell, un giovane inglese, vendette quasi tutto ciò che possedeva, vestiti compresi, e portò $135.300 al Plaza di Las Vegas. Dopo qualche piccola puntata mise l’intera somma sul rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto →, una sola volta. La pallinaattrezzaturaPallinaLa piccola sfera lanciata lungo la pista in senso contrario al rotore. Le palline moderne sono di ivorina o di Teflon, 18–21 mm.Leggi tutto → si fermò sul 7 rosso e lui se ne andò con $270.600. Su una ruota a doppio zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto → quel singolo giro era una probabilità del 47,37% e gli costava in media $7121, il vantaggio del 5,26% su una puntata. Distribuito su puntate da $10, lo stesso obiettivo sarebbe stato quasi senza speranza. Il gioco audace non rende buona la puntata; la rende la più breve possibile.
Rischio di rovina senza obiettivo
Se giochi semplicemente finché non vai in rovina o ti fermi dopo N giri, la domanda diventa “qual è la probabilità che il mio bankroll tocchi zero entro N giri?”. Non esiste una forma chiusa per un N generico, ma i simulatori di questo sito la calcolano: un bankroll da $500 con $10 sul rosso non va quasi mai in rovina in 100 giri (meno dell’1%), va in rovina circa il 9% delle volte in 500 giri e circa il 95% delle volte in 5000. Senza una regola di arresto la probabilità tende al 100%, che è la versione nel lungo periodo del vantaggio del bancomatematicaVantaggio del bancoLa parte di ogni posta che il casinò trattiene in media: il 2,70% nella roulette europea.Leggi tutto →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Quanto si dura, e fin dove si arriva in attivo
Altri due risultati classici rispondono a domande che i giocatori si pongono davvero. Senza obiettivo, puntate fisse su chance semplici durano in media 37 giri per ogni unità di bankroll su una ruota europea e 19 su una americana, perché ogni giro toglie in media 1/37 di unità (1/19 su una ruota americana): 100 unità durano in media 3700 giri, anche se metà di queste sessioni finisce entro 3134 giri (vedi Durata e costo della sessione). E per quanto grande sia il bankroll, la probabilità su una ruota europea di trovarsi prima o poi k unità in attivo è (18/19)ᵏ. È il 95% per un’unità e il 58% per dieci, ma nessun bankroll, per quanto profondo, dà una probabilità su due di trovarsi prima o poi 13 unità in attivo; su una ruota americana la probabilità è (9/10)ᵏ e scende sotto la metà a 7 unità.
Un bankroll per una probabilità pari
Rovescia la domanda: quanto devi portare per avere almeno una probabilità su due di vincere una certa somma prima di perdere tutto? Per una vincita piccola, non molto. Per una più grande il bankroll necessario sale ripidamente, e oltre un certo punto nessun bankroll basta, perché anche uno infinito dà meno di una probabilità su due di arrivare mai così avanti. Taylor (2021) la mette in un altro modo: su una ruota americana, per avere una probabilità su due di arrivare a 100 unità devi partire da 94, rischiando 94 per vincerne 6. Su una ruota europea te ne servirebbero 88.
La lezione pratica
Decidi che cosa stai cercando di fare. Se l’obiettivo è una vincita precisa, punta grosso e poche volte. Se l’obiettivo è una serata lunga, punta poco e accetta che il vantaggio prenderà il suo 2,70% di un totale puntatodenaroTotale puntatoL’importo totale puntato in una sessione o in un periodo, contando le vincite ripuntate. Detto anche: turnover, handle, action.Leggi tutto → elevato. Se l’obiettivo è entrambi, qualcosa deve cedere, e di solito è l’obiettivo.
Formula
Domande
La martingalastrategiaMartingalaProgressione che raddoppia la puntata dopo ogni perdita. Vedi la sezione Strategia per ciò che fa e ciò che non fa.Leggi tutto → lo riduce per le sessioni brevi e lo aumenta drasticamente per quelle lunghe. La puntata fissastrategiaPuntata fissaPuntare lo stesso importo a ogni giro. È il riferimento con cui si confronta ogni progressione.Leggi tutto → con un’unità più grande è il modo onesto di ridurlo.
La formula qui sopra vale per le chance semplici. Per le puntate ad alta varianza la rovina è più probabile con poste piccole e l’obiettivo si raggiunge in modo più irregolare; usa il calcolatore.
Ogni passo verso l’obiettivo è un po’ meno probabile di ogni passo verso la rovina; il rapporto si compone sul numero di passi.
Matematica per gioco
Prova prima a risolverli per conto tuo. Ogni soluzione è nascosta: aprila quando vuoi.
Hai $100 e vuoi arrivare a $1000, puntando solo sul rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto →. Piano uno: punti $1 alla volta. Piano due: punti tutto ciò che hai finché non superi $500, poi solo quanto basta per arrivare a $1000. Quale piano è migliore, e di quanto?
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Risposta Il piano due, di gran lunga. Arriva a $1000 circa il 9,0% delle volte, vicino al 10% di un gioco equo. Il piano uno riesce circa 7 volte su 10²².
In un gioco equomatematicaGioco equoUn gioco in cui nessuna delle due parti ha un vantaggio: ogni puntata ha un valore atteso pari a zero.Leggi tutto → arriveresti a $1000 partendo da $100 una volta su dieci qualunque cosa tu faccia, perché il valore medio del tuo denaro resta $100.
Il vantaggio del banco prende il 2,70% di ogni puntata, quindi meno punti in totale, più resti vicino a una su dieci. Il piano due decide la questione in una manciata di puntate: $100 diventano $200, $400, $800, e poi bastano $200. Riesce circa il 9,0% delle volte. Il piano uno richiede migliaia di puntate prima che la passeggiata finisca, e il vantaggio, piccolo su ciascuna, si accumula fino a una rovina quasi certa.
È il risultato di Dubins e Savage nella sua forma più semplice (Epstein, 2013): in un gioco che favorisce il banco, punta quanto ti serve, il minor numero di volte possibile.
Hai $500 e vuoi arrivare a $1000, fermandoti appena ci arrivi. Scegli un tipo di puntata e lo ripeti finché non vince una volta o finisce il denaro. Quale tipo dà la probabilità migliore?
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Risposta Una sola puntata da $500 sul rosso: 48,6%. Ogni piano che distribuisce il denaro su puntate più piccole fa peggio.
Scegli ogni posta in modo che basti una vincita: $30 su un pienopuntataPienoUn solo numero, paga 35:1. In inglese: straight up.Leggi tutto → vincono $1050, $60 su un cavallopuntataCavalloDue numeri adiacenti, paga 17:1. In inglese: split.Leggi tutto → vincono $1020, e così via. Poi calcola la probabilità che almeno una puntata vinca prima che finisca il denaro. Sedici pieni da $30 mancano tutti con probabilità (36/37)¹⁶ = 64,5%, quindi arrivano a $1000 il 35,5% delle volte.
La tabella mostra ogni puntata. Il rosso fa meglio perché ci arriva con una sola puntata, quindi il vantaggio del banco si paga una volta, su $500. La sestinapuntataSestinaSei numeri in due righe adiacenti, paga 5:1. In francese: sixain.Leggi tutto → è seconda perché ne bastano tre. Una sola puntata su una dozzinapuntataDozzina1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leggi tutto → è la peggiore, una probabilità di 12/37; anche giocata in unitàdenaroUnitàLa posta base con cui lavora un sistema o un giocatore. Le progressioni sono descritte in unità perché valgano a qualsiasi tavolo.Leggi tutto → da $250 finché non hai $1000 o più, la dozzina ci arriva solo il 46,4% delle volte.
Bollman (2024) costruisce la stessa tabella per una ruota americana. La sua riga della dozzina contiene una svista: dovrebbe dire 12/38 = 31,6%.
puntataposta × numero di puntateprobabilità di arrivare a $1000Pieno$30 × 1635,5%Cavallo$60 × 835,9%Terzina$90 × 534,5%Carré$125 × 436,7%Sestina$166, $166, $16841,2%Dozzina$500 × 132,4%Rosso$500 × 148,6%Punti un’unità sul rosso, giro dopo giro, con un bankrolldenaroBankrollLa somma totale messa da parte per giocare. La gestione del bankroll consiste nel decidere quanta parte rischiarne per puntata e per sessione.Leggi tutto → che non finisce mai. Dopo il primo giro sei avanti di un’unità o indietro di un’unità. Qual è la probabilità di tornare prima o poi esattamente in pari?
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Risposta 36 su 37, il 97,3%. Su una ruota americana è 36 su 38, il 94,7%.
Se il primo giro vince (18 volte su 37), sei avanti di un’unità, e il vantaggio del banco trascina in basso ogni sessione senza fine, quindi prima o poi ripassi dal pareggio: è certo. Se perde (19 volte su 37), devi risalire di un’unità, e la probabilità di trovarti mai avanti di un’unità è 18/19 (vedi la tabella qui sopra).
Insieme: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
In generale la probabilità è 1 meno lo scarto tra la probabilità di vincere e quella di perdere un giro: 1 − 1/37 su una ruota europea, 1 − 2/38 su una americana. In un gioco senza zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto → lo scarto è nullo e la probabilità è 1: il saldo torna sempre in pari. Epstein (2013) dà la regola generale.
L’enigma di Pascal del 1656: due giocatori lanciano tre dadi, ciascuno parte con 12 gettoni. Ogni 11 sposta un gettone al primo giocatore, ogni 14 ne sposta uno al secondo; gli altri lanci non contano. Quanto è probabile che il primo giocatore vinca tutti e 24? E se invece punti 1 unità sul rosso a ogni giro contro un amico che fa da banco, 12 unità ciascuno, quanto è probabile che tu vinca tutte e 24?
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Risposta Il primo giocatore vince circa 1157 volte su 1158. Tu, sul rosso, vinci tutte e 24 le unità solo il 34% circa delle volte.
Tre dadi fanno 11 in 27 modi e 14 in 15 modi, quindi ogni gettone che si sposta va al primo giocatore 27 volte su 42, cioè 9 volte su 14. Con ciascuna parte che parte da 12, la probabilità di prendere tutto è 1/(1 + r¹²), dove r è il rapporto tra la probabilità dell’altra parte e la tua.
Per il primo giocatore r = 5/9, e (5/9)¹² ≈ 0,00086, quindi la probabilità è circa 0,99914: una quota di 9¹² a 5¹², cioè 282.429.536.481 a 244.140.625, circa 1157 a 1. Huygens pubblicò esattamente questi numeri nel 1657.
Sul rosso r = 19/18 a causa dello zero, e (19/18)¹² ≈ 1,913: la tua probabilità è 1/2,913 ≈ 34,3%. Una moneta darebbe il 50%. Il vantaggio del 2,70% su ogni puntata si accumula, sulle molte puntate necessarie, in uno scarto di 16 punti.
Intermezzo comico
Il gioco audace è ottimale. Ma finisce presto.
Fonti
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”