Problema: il limite del tavolo
Una martingala da $10 a un tavolo con limite $500. Quanto spesso si spezza, quanto perde quando succede, e alzare il limite aiuta?
Sei perdite di fila la spezzano: 1,8% per ciclo, circa il 60% delle sessioni da 100 giri. La rottura costa $630. Alzare il limite a $5000 rende la rottura più rara (0,25% per ciclo) e più grande ($5110). La perdita attesa per dollaro puntato è il 2,70% a qualsiasi limite.
Il problema
Un giocatore punta $10 sul rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto → e raddoppia dopo ogni perdita, ripartendo da capo dopo una vincita. Il massimo del tavolo è $500. (a) Quante perdite consecutive spezzano la progressionestrategiaProgressioneQualsiasi regola che cambia la posta in base ai risultati precedenti. Le progressioni negative la alzano dopo le perdite, quelle positive dopo le vincite.Leggi tutto →? (b) Qual è la probabilitàmatematicaProbabilitàLa misura di quanto è probabile un esito, da 0 a 1 o da 0% a 100%. Un numero: 1/37 = 2,70%.Leggi tutto → per ciclo? (c) Quanto si perde alla rottura? (d) Come cambiano le risposte con un limite di $5000? (e) Un limite qualsiasi rende il sistema redditizio?
Soluzioni (a)–(c)
Poste: 10, 20, 40, 80, 160, 320. La settima sarebbe 640 > 500, quindi sei perdite la spezzano. (b) p(perdita) = 19/37 sul rosso; (19/37)⁶ = 0,0183, circa l’1,8% per ciclo. Un ciclo dura in media circa due giri, quindi una sessione da 100 giri ha circa 50 cicli e p(almeno una rottura) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, cioè 63 unitàdenaroUnitàLa posta base con cui lavora un sistema o un giocatore. Le progressioni sono descritte in unità perché valgano a qualsiasi tavolo.Leggi tutto → base, contro i $10 che il ciclo cercava di vincere.
Soluzione (d)
Con $5000: sono ammesse poste fino a 2560; la decima posta, 5120, viene rifiutata. Nove perdite la spezzano: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per ciclo, circa l’11% delle sessioni da 100 giri. Perdita alla rottura: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. Chi gioca ha comprato una catastrofe più rara al prezzo di una più grande. Su molte sessioni il costo atteso delle rotture è p × perdita ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per ciclo con il limite di $500 e 0,0025 × 5110 = $12,8 con $5000; è, a meno di arrotondamenti, lo stesso numero, ed è la perdita attesamatematicaPerdita attesaIl valore atteso moltiplicato per l’importo totale puntato; la somma persa in media in una sessione o in un periodo.Leggi tutto → del ciclo meno i $10 che guadagnano i cicli vincenti.
Soluzione (e)
No. Perdita attesa per ciclo = (posta totale attesa nel ciclo) / 37, a qualsiasi limite, perché ogni puntata vale −1/37 di sé stessa. Il limite decide soltanto come la perdita si distribuisce tra molte piccole vincite e poche grandi perdite. Senza limite e con un bankrolldenaroBankrollLa somma totale messa da parte per giocare. La gestione del bankroll consiste nel decidere quanta parte rischiarne per puntata e per sessione.Leggi tutto → infinito la progressione “funzionerebbe”, nel senso che non si spezzerebbe mai, e punterebbe anche una somma illimitata con perdita attesa del 2,70% di quella somma illimitata. Non è il limite del tavolotavoloLimite del tavoloPuntata minima e puntata massima consentite. È la massima a fermare le progressioni a raddoppio.Leggi tutto → a impedire alla martingalastrategiaMartingalaProgressione che raddoppia la puntata dopo ogni perdita. Vedi la sezione Strategia per ciò che fa e ciò che non fa.Leggi tutto → di funzionare. È l’aritmetica.
Due tavoli reali
L’esempio di Thorp è un tavolo da $1 con un massimo di $1000, dove chi gioca spera di vincere $30 per la cena un dollaro alla volta. Le poste 1, 2, 4 … 512 permettono dieci puntate, quindi dieci perdite di fila spezzano la progressione: una volta su 785 cicli su una ruota europea (una su 613 su una americana), con un costo di $1023. I trenta cicli riescono tutti nel 96,2% dei casi. Nel restante 3,8% si perdono circa $1000, e il risultato medio della serata è −$9,17, cioè esattamente 1/37 dei $339 che i trenta cicli puntano in media. Un tavolo da $5 con un massimo di $2000 non è diverso: le poste fino a $1280 permettono nove puntate, e la rottura arriva una volta su 403 cicli su una ruota europea (una su 323 su una americana) e costa $2555.
Un giocatore ricco
Dai alla progressione un bankroll profondo invece di un limite basso: 1000 unità, una base di un’unità e 1000 giri sul rosso, ripartendo da un’unità ogni volta che il raddoppio successivo supera ciò che resta. Abbiamo simulato un milione di serate così. Su una ruota europea il 52% chiude in attivo, il 21% perde tutto e il risultato medio è −124 unità. Anche in un gioco senza zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto →, dove ogni puntata è equa, solo il 60% circa chiuderebbe in attivo. La serata tipica è una piccola vincita; la media la pagano le serate che finiscono a zero.
La lezione
I casinò fissano i limiti per contenere la propria varianzamatematicaVarianzaUna misura di quanto i risultati si disperdono attorno al valore atteso. Alta per il pieno, bassa per le chance semplici.Leggi tutto →, non per sconfiggere i sistemi. Sconfiggere la martingala è un effetto collaterale che accolgono volentieri, e l’aritmetica la sconfiggerebbe comunque. Chi pensa che il problema sia il limite ha individuato il precipizio e l’ha scambiato per la pendenza.
Formula
Domande
Ti permette di arrivare a un limite più alto, dove la rottura è più rara e più grande. La perdita attesa per dollaro non cambia.
Poste 10, 30, 70, 150, 310: il limite di $500 viene raggiunto dopo cinque perdite, e la rottura costa $570. Sempre il 2,70%.
Perché un solo giocatore non possa puntare più di quanto la riserva del casinò possa pagare senza difficoltà. Gestione della varianza.
Matematica per gioco
Prova prima a risolverli per conto tuo. Ogni soluzione è nascosta: aprila quando vuoi.
Una martingalastrategiaMartingalaProgressione che raddoppia la puntata dopo ogni perdita. Vedi la sezione Strategia per ciò che fa e ciò che non fa.Leggi tutto → parte da $100 sul rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto → e si concede al massimo n puntate per ciclo: dopo n perdite di seguito si arrende e ricomincia. Scrivi il risultato medio di un ciclo come formula in n e calcolalo per 5, 6 e 7 puntate su una ruota europea.
Mostra la soluzione
Risposta La media è 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 per 5 puntate, −$17,35 per 6 e −$20,52 per 7. Concedersi più puntate peggiora il ciclo medio, non lo migliora.
Un ciclo vince $100 a meno che tutte le n puntate perdano, il che succede con probabilità qⁿ, dove q = 19/37. Quando perdono tutte, le poste 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sommano 100 × (2ⁿ − 1). Quindi la media è 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Qui 2q = 38/37, un po’ più di 1, quindi (2q)ⁿ cresce con n e la media scende: n = 5 dà 1,1426 e −$14,26; n = 6 dà 1,1735 e −$17,35; n = 7 dà 1,2052 e −$20,52. Una scala più lunga perde meno spesso, nel 3,6%, nell’1,8% e nello 0,9% dei cicli, ma ogni perdita è grande il doppio, e a ogni ciclo passa più denaro sul tavolo, al 2,70% di ogni puntata.
Su una ruota americana 2q = 40/38 e le cifre sono −$29,24, −$36,04 e −$43,20 (Taylor, 2021). In un gioco senza zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto → 2q = 1, e ogni ciclo dà in media esattamente zero, per quanto lunga sia la scala.
La “grande martingala” raddoppia la posta dopo una perdita e aggiunge un’unitàdenaroUnitàLa posta base con cui lavora un sistema o un giocatore. Le progressioni sono descritte in unità perché valgano a qualsiasi tavolo.Leggi tutto →, quindi le poste sono 1, 3, 7, 15, 31 … Di quanto sei in attivo quando la prima vincita arriva alla 1ª, alla 2ª, alla 3ª o alla k-esima puntata? Con un’unità da $10 e un massimo di $500, quanto spesso si spezza un ciclo, e quanto costa in media un ciclo?
Mostra la soluzione
Risposta Una vincita alla k-esima puntata ti lascia in attivo di k unità: +1, +2, +3 e così via. Con $10 e $500 il ciclo si spezza dopo cinque perdite, nel 3,57% dei cicli, per −$570. In media un ciclo perde $2,32 su $85,73 puntati: il 2,70%.
La k-esima posta è di 2ᵏ − 1 unità: 1, 3, 7, 15, 31. Le prime k − 1 poste sommano 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Una vincita alla k-esima puntata paga 2ᵏ − 1, quindi il ciclo chiude in attivo di (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unità: un’unità in più per ogni perdita prima della vincita.
A $10 per unità le poste sono $10, $30, $70, $150 e $310; la successiva, $630, supera il massimo di $500. Cinque perdite di seguito, (19/37)⁵ = 3,57%, costano 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Media: le vincite portano $10 × k con probabilità (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 per k da 1 a 5, e il ciclo spezzato toglie $570 con probabilità 3,57%; insieme fanno −$2,32. Il denaro puntato è in media $85,73 a ciclo, e 2,32/85,73 = 2,70%. La martingala ordinaria allo stesso tavolo si spezza dopo sei perdite, nell’1,83% dei cicli, per −$630, e perde $1,74 su $64,20 puntati: di nuovo il 2,70%.
Un giocatore progetta una martingala sul rosso con una prima puntata da $1 a un tavolo con limite di $1000, quindi sono possibili dieci puntate: $1, $2, $4 e così via fino a $512. Quanto spesso un ciclo le perde tutte e dieci, quanto ci vuole in media perché succeda e quanto spesso una serata di 200 puntate finisce così?
Mostra la soluzione
Risposta Un ciclo perde tutte e dieci le puntate circa una volta su 784, e costa $1023. In media sono circa 1600 puntate, e una serata di 200 puntate sbatte contro il muro circa l’11% delle volte. Un ciclo perde comunque in media $0,31 su $11,31 puntati: il 2,70%.
Una puntata sul rosso perde con probabilità 19/37, zero compreso. Dieci di fila: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, circa 1 su 784. Le poste 1 + 2 + 4 + … + 512 sommano $1023.
Un ciclo dura in media 2,05 puntate, quindi 784 cicli richiedono circa 1600 puntate. Contando giro per giro, una serie di dieci perdite compare da qualche parte in 200 puntate l’11,3% delle volte.
Tra un disastro e l’altro il giocatore vince $1 a ciclo: circa $783 prima di quello negativo, poi −$1023, circa −$240 sull’intero tratto. Per ciclo: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Denaro puntato per ciclo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. E −0,31/11,31 = −2,70%.
Confronta una prima puntata da $10 con un limite di $500, sei puntate: il muro arriva una volta ogni 55 cicli, e una serata di 200 puntate lo incontra l’84% delle volte. Un limite più alto rende il crollo più raro e più grande, non più economico.
Intermezzo comico
Più rara e più grande, a ogni limite. Il prodotto è costante.
Fonti
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.