Il criterio di Kelly e la roulette

Il criterio

John Kelly (1956) si chiese come un giocatore con un vantaggio noto dovesse dimensionare le puntate per massimizzare la crescita nel lungo periodo del bankrolldenaroBankrollLa somma totale messa da parte per giocare. La gestione del bankroll consiste nel decidere quanta parte rischiarne per puntata e per sessione.Leggi tutto →. La risposta, per una puntata che paga b a 1 con probabilitàmatematicaProbabilitàLa misura di quanto è probabile un esito, da 0 a 1 o da 0% a 100%. Un numero: 1/37 = 2,70%.Leggi tutto → di vincita p e di perdita q = 1 − p, è puntare la frazione f* = (bp − q) / b del bankroll. Un f* positivo significa puntare quella frazione; zero o negativo significa non puntare. Kelly lavorava ai Bell Labs, e il suo articolo, “A new interpretation of information rate”, inquadrava il problema nella teoria dell’informazione di Claude Shannon: un giocatore che riceve soffiate su una linea disturbata, a quote eque, può far crescere il bankroll al massimo al ritmo con cui la linea trasporta informazione. Nel 1961 Leo Breiman dimostrò che le puntate di Kelly, nel lungo periodo, finiscono davanti a qualsiasi strategia sostanzialmente diversa e raggiungono un obiettivo fissato in un tempo vicino al più breve possibile.

Applicato alla roulette

Per il rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Per un pienopuntataPienoUn solo numero, paga 35:1. In inglese: straight up.Leggi tutto →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Ogni puntata standard dà una frazione di Kelly negativa, perché ogni puntata ha un vantaggio negativo, e la posta che ottimizza la crescita è zero. Kelly è un modo formale di dire ciò che dice la pagina sul vantaggio del banco: non esiste una dimensione per cui una puntata con valore atteso negativo faccia crescere un bankroll.

Dove Kelly si applicava

I giocatori che sfruttavano uno sbilanciamento avevano un vantaggio e un problema di dimensionamento. Jagger, i García-Pelayo e gli Eudaemons dovettero tutti decidere quanto puntare sul vantaggio misurato, e puntare troppo poco spreca il vantaggio mentre puntare troppo rischia la rovina prima che il vantaggio si mostri. Per una casellaattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto → che esce 1 volta su 30, Kelly indica lo 0,57% del bankroll a giro su quel numero: con $10.000, circa $57 a giro, per una crescita tipica di circa lo 0,054% a giro, cioè ×1,7 in 1000 giri. Il guadagno medio è il doppio, lo 0,11% a giro, ma Kelly mira al bankroll tipico, non a quello medio, che poche serie fortunate gonfiano. Mezzo Kelly è la scelta pratica abituale, perché la stima del vantaggio è incerta.

Giocatori di roulette famosiGli Eudaemons

Tipico e medio

La distanza tra il bankroll tipico e quello medio è ampia. Prendi una casella che esce 1 volta su 25, un vantaggio del 44%, la cifra che Thorp indica per il suo dispositivo. Kelly vi punta l’1,26% del bankroll. Dopo 1000 giri il bankroll tipico si è moltiplicato per circa 11,5, mentre quello medio, tirato su da poche serie molto fortunate, si è moltiplicato per circa 249. Puntare più di Kelly alza la media e abbassa il risultato tipico: al doppio della posta di Kelly il bankroll tipico si limita a raddoppiare, e già a due volte e mezza la posta di Kelly si riduce, anche se ogni puntata ha ancora un vantaggio del 44%. Puntare meno costa poco: metà della posta conserva circa tre quarti della crescita.

Quando il vantaggio è una stima

Kelly presuppone che il vantaggio sia noto. Al tavolo è stimato, e la stima di solito è troppo alta. L’esempio di Epstein, costruito sul 44% di Thorp, è un numero uscito 49 volte in 1225 giri di una ruota a doppio zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto →: 1 volta su 25, un vantaggio del 44%, una puntata di Kelly dell’1,26%. Ma una ruota equa a doppio zero ha 38 numeri, e il più frequente di essi arriva a 49 o più in 1225 giri circa una volta su nove. Il numero più frequente di qualsiasi registrazione è anche quello che la fortuna ha aiutato di più, quindi anche una casella davvero sbilanciata appare nella registrazione migliore di quanto sia: è la maledizione del vincitore. Se quella casella è in realtà equa, la puntata di Kelly è semplicemente una puntata che perde in media il 5,26%. Le risposte abituali sono puntare una frazione di Kelly e continuare a contare finché il vantaggio non regge a una registrazione nuova (vedi Come rilevare lo sbilanciamento della ruota).

Chi ha un vantaggio

Conoscere il vantaggio non è lo stesso che usarlo bene. Haghani e Dewey (2016) diedero a 61 persone $25 ciascuna da puntare per mezz’ora su una moneta che, veniva detto loro, dava testa il 60% delle volte, con vincite limitate a $250 (i giocatori scoprivano il tetto solo raggiungendolo). Kelly dice di puntare ogni volta il 20% del bankroll su testa, e gli autori stimano che puntate costanti del 10–20% avrebbero raggiunto il tetto circa il 95% delle volte. Ci arrivò solo il 21% dei giocatori. Il 28% andò in rovina, 18 dei 61 puntarono tutto su un solo lancio, circa un terzo finì sotto i $25 di partenza e il pagamentodenaroPagamentoCiò che rende una puntata vincente, espresso come “X a 1” in aggiunta alla posta restituita.Leggi tutto → medio fu di $91. Solo cinque dei 61 avevano sentito parlare del criterio di Kelly. Con un vantaggio, è l’entità delle puntate a decidere se lo conservi; senza, come a una ruota equa, nessuna entità aiuta.

Che cosa usare al suo posto

Senza un vantaggio, il dimensionamento è una questione di budget, non di crescita: la posta è ciò che sei disposto a spendere a giro, ricavato dal budget orario e dal ritmo del tavolo (pagina sulla gestione del bankroll). Il contributo di Kelly al giocatore comune è la chiarezza della sua risposta: zero. Tutto ciò che punti sopra lo zero è il prezzo del gioco, scelto da te, non ottimizzato da nessuna formula.

Una nota su Kelly frazionario e “gestione del denaro”

I sistemi venduti come “Kelly per la roulette” che raccomandano una percentuale fissa del bankroll a puntata sono puntata fissastrategiaPuntata fissaPuntare lo stesso importo a ogni giro. È il riferimento con cui si confronta ogni progressione.Leggi tutto → con una posta che si riduce. Perdono il 2,70% del totale puntatodenaroTotale puntatoL’importo totale puntato in una sessione o in un periodo, contando le vincite ripuntate. Detto anche: turnover, handle, action.Leggi tutto → e, poiché la posta si riduce man mano che perdi, rendono la rovina lenta anziché improbabile. È un modo ragionevole di far durare un budget; non è Kelly, che direbbe di fermarsi.

Puntata fissa

Formula

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