Test del chi quadrato
Il test standard per rispondere a “questi 37 conteggi sono quelli che darebbe una ruota equa?”
χ² = Σ (osservato − atteso)² / atteso su tutte le 37 caselle. Si confronta con la distribuzione chi quadrato a 36 gradi di libertà per ottenere un valore p.
Come si calcola
Il conteggio atteso per ogni casellaattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto → è n/37. Per ogni casella si eleva al quadrato la differenza tra osservato e atteso e si divide per l’atteso; poi si sommano i 37 termini. Una ruota equa dà valori intorno a 36 in media (i gradi di libertàlaboratorioGradi di libertàIl numero di valori indipendenti in una statistica. Per un test del chi quadrato su 37 caselle è 36, perché la somma dei conteggi deve dare il totale.Leggi tutto →), con una deviazione standardmatematicaDeviazione standardRadice quadrata della varianza; la distanza tipica di un risultato dal valore atteso.Leggi tutto → di circa 8,5. Sopra 51,0 il risultato è significativo al livello del 5%; sopra 58,6 all’1%. L’Analizzatore dello sbilanciamento calcola la statistica e il valore plaboratorioValore pLa probabilità di osservare una deviazione grande almeno quanto quella osservata se la ruota fosse equa.Leggi tutto → esatto con la funzione gamma incompleta regolarizzata.
Un esempio svolto
1000 giri. Trentasei caselle escono tra 20 e 34 volte; la casella 8 esce 41 volte. L’atteso è 27,03. Il solo termine della casella 8 è (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Supponiamo che gli altri 36 termini sommino 38 (valore tipico). χ² = 45,2 con 36 gdl, p ≈ 0,14. Non significativo: una ruota equa fa questo una volta su sette. La casella 8 è una candidata, non un risultato, e la risposta è altri mille giri.
Ipotesi
Giri indipendentimatematicaGiri indipendentiOgni giro ha le stesse probabilità, qualunque sia la storia precedente. È la base di ogni calcolo di questo sito.Leggi tutto → e conteggi attesi di almeno 5 per casella, il che significa n ≥ 185 perché il test sia valido e molto di più perché sia utile. Mettere insieme giri di ruote diverse viola la prima ipotesi nello spirito (si sta provando una miscela, non una ruota). Un effetto firma del croupier la violerebbe di fatto e gonfierebbe χ² senza che nessuna casella sia fisicamente favorita.
Pearson e Monte Carlo
Karl Pearson pubblicò il test nel 1900 e uno dei suoi primi esempi svolti fu di 26.306 giri di roulette registrati a Monte Carlo, che trovò troppo poco uniformi per essere dovuti al caso, tanto da dichiarare che “la roulette di Monte Carlo… non è un gioco d’azzardo”. Autori successivi conclusero che i giornalisti che avevano registrato i giri per un quotidiano ne avevano inventati molti, il che è una lezione a sé sull’origine dei dati.
Pearson pubblica il test chi quadrato di adattamento, con i giri di Monte Carlo come esempio.
I dati dei giri vengono messi in dubbio; chi li registrava sembra aver inventato serie intere.
Fisher formalizza i gradi di libertà; si afferma la convenzione del 5%.
Gli statistici usano i giri di roulette come dati da manuale per i test di uniformità.
La famiglia García-Pelayo applica il metodo a dati registrati reali e vince a Madrid.
I casinò eseguono lo stesso test sulle proprie ruote come manutenzione ordinaria.
Un test vero: le ruote automatiche di Las Vegas
Chi gioca sospetta spesso che una ruota automatica allontani la pallinaattrezzaturaPallinaLa piccola sfera lanciata lungo la pista in senso contrario al rotore. Le palline moderne sono di ivorina o di Teflon, 18–21 mm.Leggi tutto → dalle puntate grosse. Nel 2017 Wizard of Odds ha messo alla prova questo sospetto sulle ruote a doppio zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto → senza croupier di Interblock a Las Vegas, puntando su un arco di cinque numeri vicini, il tipo di puntata che fa chi cronometra la ruota. In 299 giri l’arco ha vinto 29 volte contro 39,3 attese, uno scarto che una ruota equa produce circa il 4% delle volte. Il chi quadrato su tutte le 38 caselle era 45,29 con 37 gradi di libertà: p = 16,5%. Un secondo campione di 1204 giri su tre ruote ha dato χ² = 34,79, p = 57%, e nessun arco, di nessuna ampiezza tra quelle provate, è risultato significativo. I due campioni insieme, 1503 giri, hanno dato χ² = 41,75, p = 27%. Il verdetto: nessuna prova che la pallina venga guidata. Il primo campione da solo sembrava sospetto; è stato il secondo a chiudere la questione.
Oltre il chi quadrato
Per una singola casella sospetta è più potente un test binomiale. Per un arco sospetto, il test z del settoreruotaSettoreUn arco continuo di caselle sulla ruota, distinto da un gruppo sul tappeto.Leggi tutto → descritto nella pagina sull’analisi dei settori. Il chi quadrato è il test omnibus: dice che qualcosa non va senza dire che cosa. Usalo per primo, poi guarda meglio.
Formula
Domande
I 37 conteggi devono sommare a n, quindi solo 36 sono liberi di variare.
Una ruota con una casella a 1/25 in 10.000 giri darebbe da sola un termine di circa 70 per quella casella; χ² ben oltre 100, con p di fatto zero.
Tecnicamente sì, con un atteso di 5,4 per casella. Non rileverà nulla, a meno di una ruota con una casella incollata.
Intermezzo comico
Somma le sorprese al quadrato. Confrontale con 51,0.
Fonti
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”