Convergenza nel lungo periodo
Come la media si assesta verso −2,70%, e perché ci vuole più tempo di quanto suggerisca l’intuizione.
La perdita media per giro converge a −1/37 man mano che i giri si accumulano, con una dispersione che si riduce come 1/√N. Dopo 1000 giri sul rosso la media è tipicamente entro ±3% del suo valore atteso.
Legge dei grandi numeri
La media corrente di puntate indipendenti tende al valore attesomatematicaValore attesoIl risultato medio per puntata nel lungo periodo. −1/37 della posta per ogni puntata standard della roulette europea.Leggi tutto →. Dopo N giri a chance semplice con una unitàdenaroUnitàLa posta base con cui lavora un sistema o un giocatore. Le progressioni sono descritte in unità perché valgano a qualsiasi tavolo.Leggi tutto →, il risultato medio per giro ha valore atteso −1/37 e deviazione standardmatematicaDeviazione standardRadice quadrata della varianza; la distanza tipica di un risultato dal valore atteso.Leggi tutto → 1/√N. Con N = 100 quella dispersione è il 10% della posta, quasi quattro volte il segnale del 2,7%. Con N = 1000 è il 3,2%, circa quanto il segnale. Con N = 10.000 è l’1%, e il vantaggio si vede chiaramente. Il vantaggio è invisibile in una sessione e inconfondibile in un anno.
Che cosa converge e che cosa no
La media per giro converge. Il totale no: si allontana sempre più da zero al crescere di N, di circa il 2,7% di N in valore atteso, con una dispersione di √N attorno a quel valore. Chi ha giocato 10.000 giri da $10 dovrebbe essere in perdita di $2700, più o meno $1000. La proporzione corrente di rossipuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto → si è assestata da tempo attorno al 48,65%; il saldo corrente non si è assestato da nessuna parte.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Perché l’intuizione sbaglia
Ci si aspetta che il vantaggio si veda subito perché il 2,70% sembra molto, e che le serie lunghe si “compensino” perché la legge dei grandi numerimatematicaLegge dei grandi numeriLa media di risultati indipendenti converge al valore atteso al crescere del numero di prove.Leggi tutto → dice che le medie convergono. Entrambe le intuizioni sbagliano la scala: il vantaggio è piccolo rispetto alla varianzamatematicaVarianzaUna misura di quanto i risultati si disperdono attorno al valore atteso. Alta per il pieno, bassa per le chance semplici.Leggi tutto → di un singolo giro (σ = 1 unità contro EV = 0,027), quindi servono (1/0,027)² ≈ 1400 giri perché diventi visibile a un sigma. E la convergenza della media non fa nulla per riportare indietro il totale; diluisce soltanto le fluttuazioni passate.
Convergenza per le altre puntate
Per i pienipuntataPienoUn solo numero, paga 35:1. In inglese: straight up.Leggi tutto → σ = 5,84, quindi lo stesso calcolo dà (5,84/0,027)² ≈ 47.000 giri perché il vantaggio raggiunga un sigma. Chi punta sui pieni può giocare per anni senza che il vantaggio sia distinguibile dalla fortuna nei propri registri, pagando esattamente lo stesso 2,70% di chi punta sul rosso e lo vede nel giro di poche settimane.
Conseguenze per la verifica dei sistemi
Chiunque sostenga che un sistema funziona dovrebbe poterlo dimostrare su 10.000 giri o più, con una media positiva documentata. A 1000 giri una media positiva su una chance semplice è un evento da una su cinque sotto l’ipotesi nulla; a 100 giri è quasi un testa o croce. I simulatori di questo sito eseguono 2000 sessioni della lunghezza che scegli in un secondo, che è più prova di qualsiasi testimonianza.
Formula
Domande
La probabilitàmatematicaProbabilitàLa misura di quanto è probabile un esito, da 0 a 1 o da 0% a 100%. Un numero: 1/37 = 2,70%.Leggi tutto → di essere di nuovo in attivo scende verso zero man mano che giochi. Il totale scende senza limite.
No. Significa che le fluttuazioni passate diventano una frazione più piccola di un campione più grande.
Per le chance semplici, circa 10.000 prima che il vantaggio sia chiaramente visibile. Per i pieni, circa 50.000.
Matematica per gioco
Prova prima a risolverli per conto tuo. Ogni soluzione è nascosta: aprila quando vuoi.
Due amici giocano 20 turni di un gioco equomatematicaGioco equoUn gioco in cui nessuna delle due parti ha un vantaggio: ogni puntata ha un valore atteso pari a zero.Leggi tutto →, un lancio di moneta o rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto → contro neropuntataNeroChance semplice sui 18 numeri neri. In francese: noir.Leggi tutto → con gli zeriruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto → restituiti, e tengono il punteggio progressivo. Conta i turni in cui ciascuno è in vantaggio (un pareggio conta per chi era in testa subito prima). Che cosa è più probabile: che il vantaggio sia diviso 10 turni a 10, o che un amico sia in testa per tutti e 20?
Mostra la soluzione
Risposta Un amico in testa per tutti e 20 i turni è molto più probabile: il 35,2%, contando l’uno o l’altro amico, contro il 6,1% di un 10 a 10 esatto.
La probabilità che un punteggio progressivo equo sia in parità dopo 2k turni è u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 dopo 10 turni e 0,176 dopo 20. Un risultato classico, la legge dell’arcoseno, dice che la probabilità che un amico indicato per nome sia in testa per esattamente 2k turni su 2n è u(2k) × u(2n − 2k).
In testa per tutti e 20: u(20) × u(0) = 0,176 per ciascun amico, il 35,2% per l’uno o l’altro. Una divisione alla pari: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, la ripartizione meno probabile di tutte.
Quindi in un gioco equo il comando cambia di mano raramente. Un giocatore che è stato in attivo tutta la sera, o in perdita tutta la sera, non ha visto nulla di insolito, e questo non dice niente sulla ruota né sull’abilità. Epstein (2013) dà la stessa legge per partite più lunghe: metà delle volte la parte più fortunata è in testa per più dell’85% del gioco.
Intermezzo comico
La media converge. Il totale se ne va.
Fonti
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.