Probabilità delle serie
Le serie lunghe di uno stesso colore sono comuni. E non dicono nulla sul giro successivo.
Cinque rossi di fila: 2,7%. Dieci: 0,074%. In una sessione di 200 giri una serie di sei dello stesso colore compare più spesso di quanto non compaia.
Quanto spesso arriva una serie negativa
Una chance semplice su una ruota a zero singolo perde 19 giri su 37. Ogni riga è la probabilità che una data serie di giri sia tutta perdente, e quanto ha perso fino a quel punto chi gioca la martingala, che raddoppia dopo ogni perdita.
| perdite di fila | probabilità | circa 1 su | perso finora | prossima puntata |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
La probabilità è 19/37 moltiplicato per sé stesso una volta per ogni perdita, contando da un giro dato. Una sessione lunga ha molti giri da cui una serie simile può cominciare, quindi nell’arco di una serata è molto più probabile di quanto suggerisca una riga.
Una singola serie
La probabilitàmatematicaProbabilitàLa misura di quanto è probabile un esito, da 0 a 1 o da 0% a 100%. Un numero: 1/37 = 2,70%.Leggi tutto → che i prossimi k giri siano tutti rossipuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto → è (18/37)ᵏ. Due: 23,7%. Cinque: 2,7%. Dieci: 0,074%, circa 1 su 1350. Venti: 1 su 1,8 milioni. Ventisei, il record di Monte Carlo: 1 su 137 milioni. Sono le probabilità di una serie specifica che parte da un giro specifico, che è la domanda che quasi nessuno si sta davvero ponendo.
In una sessione
La domanda che le persone intendono è “comparirà una serie di k da qualche parte nella mia sessione?”, e la risposta è molto più grande di (18/37)ᵏ, perché una sessione di 200 giri offre quasi 200 punti da cui una serie può partire. Una serie di sei o più dello stesso colore, rosso o neropuntataNeroChance semplice sui 18 numeri neri. In francese: noir.Leggi tutto →, compare in una sessione di 200 giri circa il 94% delle volte; otto o più circa il 47%; dieci o più circa il 14%. Se scegli il colore in anticipo le probabilità scendono, a circa il 75%, il 27% e il 7%. Chi si siede per una serata vedrà serie lunghe ogni serata.
Perché alla martingala interessa
Ogni progressionestrategiaProgressioneQualsiasi regola che cambia la posta in base ai risultati precedenti. Le progressioni negative la alzano dopo le perdite, quelle positive dopo le vincite.Leggi tutto → negativa ha una lunghezza di serie che la spezza: sei perdite con base $10 e limite $500, dieci per il FibonaccistrategiaFibonacciProgressione che segue la sequenza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un passo avanti dopo una perdita, due passi indietro dopo una vincita.Leggi tutto →, cinque per il triplicare sulle dozzinepuntataDozzina1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leggi tutto →. La probabilità di una serie perdente di sei su una chance semplice è (19/37)⁶ ≈ 1,8% per tentativo, e una sessione di 200 giri contiene forse 100 tentativi, quindi la rottura arriva in circa quattro sessioni su cinque di quella lunghezza. Le probabilità delle serie sono il motivo per cui il precipizio non è raro.
Numeri caldi e freddi
Lo stesso calcolo vale per i pienipuntataPienoUn solo numero, paga 35:1. In inglese: straight up.Leggi tutto →. In 300 giri il conteggio atteso per numero è 8,1; la deviazione standardmatematicaDeviazione standardRadice quadrata della varianza; la distanza tipica di un risultato dal valore atteso.Leggi tutto → è circa 2,8. Per solo effetto del caso qualche numero mostrerà 15 uscite e qualcuno 2, ogni volta. Un tabellone dei risultati che evidenzia i numeri “caldi” sta evidenziando la coda di una distribuzione normale. Il Laboratorio spiega quanti giri servono prima che un numero caldomitoNumero caldoUn numero che di recente è uscito più spesso dell’atteso. Su una ruota equa non predice nulla.Leggi tutto → significhi qualcosa (migliaia, da una sola ruota identificata).
L’indipendenza è tutto il punto
Una serie di dieci rossi non rende più probabile il nero, e non rende più probabile nemmeno il rosso. Entrambi valgono 18/37. Le serie sono una proprietà delle sequenze casuali e sarebbero sospette se mancassero: una sequenza di 200 giri senza nessuna serie più lunga di quattro sarebbe una prova di manomissione molto più forte di una con una serie di dodici.
Formula
Domande
I 26 neri di Monte Carlo del 18 agosto 1913 sono i più famosi. Nel 1943 si riferì di 32 rossi di fila in un casinò americano. Entrambi sono coerenti con il caso, dato quanti giri fanno i casinò.
È 18/37 in entrambi i casi. Punta ciò che dice il tuo piano, oppure niente.
No. Lo sbilanciamento si manifesta con alcune caselleattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto → che escono più spesso su migliaia di giri, non con serie di un colore.
Matematica per gioco
Prova prima a risolverli per conto tuo. Ogni soluzione è nascosta: aprila quando vuoi.
Quanti giri di una ruota europea servono, in media, prima che ognuno dei 37 numeri sia uscito almeno una volta?
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Risposta Circa 155 giri in media; la mediana è 147.
Conta l’attesa un numero nuovo alla volta. Il primo giro mostra sempre un numero nuovo. Dopo aver visto 1 numero, 36 caselleattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto → su 37 sono nuove, quindi il numero nuovo successivo richiede in media 37/36 giri. Dopo aver visto k numeri, ne richiede 37/(37 − k).
Somma le attese: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 giri.
La maggior parte se ne va alla fine. L’ultimo numero da solo richiede in media 37 giri, e gli ultimi cinque circa 85. Su una ruota americana lo stesso conto dà circa 161. È il problema del collezionista di figurine; Wizard of Odds dà la stessa media.
In 37 giri di una ruota europea, un giro per ogni casella, quanti numeri diversi dovresti aspettarti di vedere?
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Risposta Circa 23,6. Più o meno un terzo dei numeri, circa 13, non esce affatto.
Prendi un numero, per esempio il 17. A ogni giro non esce con probabilità 36/37, quindi manca tutti i 37 giri con probabilità (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Ogni numero ha la stessa probabilità, quindi in media mancano 37 × 0,363 ≈ 13,4 numeri ed escono 37 − 13,4 ≈ 23,6 numeri, molti dei quali due volte o più.
Chi gioca alla roulette la chiama legge del terzo. Non è una legge, solo l’aritmetica delle ripetizioni: in una serie lunga quanto la ruota, circa un terzo dei numeri resta fuori, su una ruota equa come su qualsiasi altra. Su 38 caselle la quota è anch’essa (37/38)³⁸ ≈ 0,363; per una ruota grande si assesta vicino a 1/e ≈ 0,368.
Un amico ti mostra due liste di 50 colori, rossopuntataRossoChance semplice sui 18 numeri rossi. In francese: rouge.Leggi tutto → o neropuntataNeroChance semplice sui 18 numeri neri. In francese: noir.Leggi tutto →, che vengono entrambe, a suo dire, da una ruota con gli zeriruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto → esclusi. Una cambia colore 25 volte e la sua serie più lunga è di sei. L’altra cambia 35 volte e non supera mai una serie di tre. Quale è inventata?
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Risposta La seconda. Una lista vera cambia colore circa 24 o 25 volte. Una con 35 cambi compare circa una volta su 500 liste, e una senza serie più lunghe di tre circa due volte su 100.
Ogni nuovo colore o ripete l’ultimo o cambia, metà e metà, quindi 49 occasioni di cambio danno in media 24,5 cambi, con uno scarto tipico di circa 3,5. Trentacinque è tre di questi passi sopra la media; una ruota equa produce tanti cambi circa una volta su 500 liste.
Le serie raccontano la stessa storia. Una lista vera di 50 ha una serie di quattro o più circa il 98% delle volte, e la sua serie più lunga è più spesso di cinque o sei.
Chi deve inventare una lista casuale cambia colore troppo spesso, perché una serie di quattro o cinque gli sembra uno schema. Taylor (2021) mostra lo stesso indizio nelle liste di lanci di moneta inventate dagli studenti: il vero caso fa più serie di quanto ci si aspetti.
Un libro di storie di casinò parla di un giocatore il cui numero uscì cinque volte di seguito e lo chiama un record. Quanto è raro su una ruota europea? E quanto spesso dovrebbe succedere da qualche parte in un casinò con 20 tavoli, ognuno con 40 giri all’ora, giorno e notte?
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Risposta Un numero scelto cinque volte di seguito: 1 su 69 milioni. Un numero qualsiasi che esce altre quattro volte dopo la prima: 1 su 1,87 milioni. Quel casinò fa circa 7 milioni di giri all’anno, quindi dovrebbe vedere una serie di cinque tre o quattro volte all’anno.
Un numero scelto esce con probabilità 1/37 a ogni giro, quindi cinque di seguito hanno probabilità (1/37)⁵ = 1 su 69.343.957. Ma nessuno sceglie il numero in anticipo. Qualunque cosa esca per prima, i quattro giri successivi devono ripeterla: (1/37)⁴ = 1 su 1.874.161.
20 tavoli × 40 giri × 24 ore × 365 giorni = 7.008.000 giri all’anno. Ogni giro può aprire una serie, quindi il casinò si aspetta 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 serie di cinque all’anno.
Non esiste alcun record ufficiale di questo tipo, e non ne serve uno: un evento raro a un tavolo è un evento di routine in tutto un casinò, e le storie si raccontano sul tavolo dove è successo. La storia, in Goldman (2007), è ambientata su una ruota a doppio zero, dove le cifre sono 1 su 79 milioni e 1 su 2,09 milioni.
Intermezzo comico
Le serie lunghe sono l’aspetto del caso.
Fonti
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.