Problema: la ruota dei compleanni
Quanti giri passano prima che un numero si ripeta? Molti meno di quanti la maggior parte delle persone immagini.
Il problema dei compleanni su una ruota da 37 caselleattrezzaturaCasellaUno dei 37 scomparti numerati del rotore. Detta anche: slot, cup.Leggi tutto →: già dopo 8 giri è più probabile che no che un numero sia uscito due volte. Chi gioca legge le ripetizioni come schemi; sono il comportamento atteso di una ruota equa.
Il problema
Fai girare una ruota europea equa. Quanti giri servono perché la probabilitàmatematicaProbabilitàLa misura di quanto è probabile un esito, da 0 a 1 o da 0% a 100%. Un numero: 1/37 = 2,70%.Leggi tutto → che almeno due giri abbiano dato lo stesso numero superi un mezzo? La maggior parte di chi gioca ipotizza intorno a 18 o 19, la metà di 37. La risposta è 8.
La soluzione
Si calcola la probabilità di nessuna ripetizione e la si sottrae da uno. Dopo k giri, p(tutti diversi) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Per k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, quindi p(qualche ripetizione) ≈ 0,56. Per k = 14 è 0,93; per k = 20 è 0,996. L’intuizione sbaglia perché il numero di coppie di giri cresce come k², e ogni coppia può coincidere.
Perché conta al tavolo
Un tabellone con gli ultimi 20 numeri mostrerà quasi sempre almeno una ripetizione, spesso due o tre. Chi gioca vede “il 17 è uscito due volte in dieci giri” e conclude che il 17 sia caldo; l’aritmetica dei compleanni dice che una ripetizione entro dieci giri si verifica il 74% delle volte e che il numero ripetuto è casuale. Lo schema è reale; il significato no.
Il problema successivo
Quanti giri servono perché un numero specifico, per esempio il 17, sia uscito due volte? È una domanda diversa con una risposta molto più grande: l’attesa media è di 74 giri, e la probabilità di due 17 entro 20 giri è circa il 10%. La differenza tra “qualche numero si ripete” (8 giri) e “questo numero si ripete” (74 giri) è tutta la differenza tra uno schema che si nota a posteriori e una previsione fatta in anticipo.
Provalo
Fai dieci giri nel Gioco demo e guarda la cronologia. Di solito ci sarà una ripetizione. Ripeti. Il numero ripetuto sarà diverso. Fallo dieci volte e avrai visto il problema dei compleannimatematicaProblema dei compleanniQuante persone servono perché probabilmente due compiano gli anni lo stesso giorno, o quanti giri servono perché probabilmente un numero si ripeta. Su una ruota da 37 caselle bastano 8 giri per una probabilità superiore a una su due.Leggi tutto →; fallo mille volte (i simulatori possono) e l’avrai misurato.
Formula
Domande
Esattamente, con 37 caselle invece di 365 giorni. Con 23 persone si ha il 50% per i compleanni; con 8 giri si ha il 56% per la ruota.
Il 50% dopo circa 19 giri. Ancora routine.
No. Lo indicherebbero migliaia di giri di una stessa ruota; una ripetizione mai.
Matematica per gioco
Prova prima a risolverli per conto tuo. Ogni soluzione è nascosta: aprila quando vuoi.
Un tabellone dei risultati accanto a una ruota americana mostra gli ultimi 16 giri. Qual è la probabilità che nessun numero vi compaia due volte?
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Risposta Circa il 2,5%: grosso modo 39 tabelloni su 40 mostrano almeno una ripetizione.
Procedi giro per giro. Il primo giro può essere qualsiasi numero. Il secondo deve evitarlo: 37 possibilità su 38. Il terzo deve evitarli entrambi: 36 su 38. Il sedicesimo deve evitare quindici numeri: 23 su 38.
Moltiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
È il tabellone senza ripetizioni a essere raro. Un tabellone con una ripetizione non dice nulla sulla ruota.
In dieci giri di una ruota europea, qual è la probabilità che il 17 esca esattamente cinque volte? Che un numero, uno qualsiasi, esca cinque o più volte? E che un numero esca almeno tre volte in quattro giri?
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Risposta Il 17 esattamente cinque volte: 1 su 315.576. Un numero qualsiasi cinque o più volte: circa 1 su 8333. Un numero qualsiasi tre o più volte in quattro giri: 1 su 349.
Il 17 cinque volte: scegli quali cinque dei dieci giri, 252 modi, ciascuno con probabilità (1/37)⁵ × (36/37)⁵. In tutto, 1 su 315.576.
Un numero qualsiasi: ognuno dei 37 numeri ha una probabilità di 1 su 308.325 di uscire cinque o più volte, il che dà 37 su 308.325, ossia 1 su 8333. Il caso raro di due numeri usciti cinque volte ciascuno viene contato due volte, ma toglierlo non cambia nulla a questa precisione.
Tre volte in quattro giri: per un numero, 4 × 36 + 1 = 145 dei 37⁴ risultati possibili; per uno qualsiasi dei 37 numeri, 145/37³ = 1 su 349.
Wizard of Odds ha risposto alle versioni di queste domande per la ruota a doppio zeroruotaZeroL’unica casella verde, che nessuna chance semplice, dozzina o colonna copre; è l’origine del vantaggio del banco. Detto anche: zero singolo, 0.Leggi tutto →; le nostre cifre per quella ruota sono 1 su 359.275, 1 su 9243 e 1 su 368. La differenza tra “il 17” e “un numero qualsiasi” è di nuovo il paradosso del compleannomatematicaProblema dei compleanniQuante persone servono perché probabilmente due compiano gli anni lo stesso giorno, o quanti giri servono perché probabilmente un numero si ripeta. Su una ruota da 37 caselle bastano 8 giri per una probabilità superiore a una su due.Leggi tutto →: ci sono 37 modi di restare sorpresi.
Intermezzo comico
Qualcosa si ripete presto. Quel qualcosa è casuale.
Fonti
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.